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Un courant de 77 milliampères dans un fil conducteur d’un matériau inconnu est porté par des électrons libres. La section transversale du conducteur est 1,5 fois 10 à la puissance moins six mètres carrés. Trouvez la densité des électrons libres dans le matériau si la vitesse moyenne des électrons libres dans le fil est de 0,18 millimètres par seconde. Utilisez une valeur de 1,6 fois 10 à la puissance moins 19 coulombs pour la charge des électrons. Donnez la réponse en notation scientifique arrondie à une décimale près.
Dans cette question, on nous parle d’un fil conducteur, et supposons que ceci soit une section de ce fil. On nous dit que ce fil a une section transversale, que nous avons appelée 𝐴, égale à 1,5 fois 10 puissance moins six mètres carrés. Maintenant, dans ce fil, il y a un grand nombre d’électrons libres, que nous avons représentés ici par des points bleus. Ces électrons se déplacent dans le fil. Et comme nous l’avons dessiné ici, ils se déplacent vers la droite. On nous dit que leur vitesse moyenne est de 0,18 millimètres par seconde, que nous avons appelée 𝑣. Lorsque ces électrons se déplacent vers la droite, ils traversent cette section 𝐴.
Puisque les électrons sont des particules chargées, et en fait on nous donne une valeur de 1,6 fois 10 puissance moins 19 coulombs pour la charge des électrons 𝑒, alors le mouvement de ces électrons va créer un courant dans le fil. On nous dit que dans ce cas, le courant est égal à 77 milliampères, et nous l’avons appelé 𝐼. Rappelons que le courant électrique est défini comme le taux du flux de la charge électrique dans le temps. Mathématiquement, si une quantité de charge 𝑄 passe à travers une section transversale d’un fil pendant un intervalle de temps 𝑡, alors le courant 𝐼 est égal à 𝑄 divisé par 𝑡.
Maintenant, la quantité totale de charge dans une section transversale pendant un laps de temps donné, c’est 𝑄, est égale à la charge de chaque électron 𝑒 multipliée par le nombre d’électrons traversant la section transversale pendant ce temps. Et nous avons appelé ce nombre 𝑁 majuscule. Si nous divisons les deux côtés de cette équation par la charge électronique 𝑒, alors nous pouvons annuler le 𝑒 au numérateur et le 𝑒 au dénominateur sur le côté droit. Nous avons alors 𝑁 est égal à 𝑄 divisé par 𝑒. Si nous prenons maintenant cette équation, qui relie le courant 𝐼 et la charge 𝑄, et que nous multiplions les deux côtés par le temps 𝑡 de sorte que, à droite, les 𝑡 s’annulent, alors nous avons que la charge 𝑄 passant par une aire de section transversale à un intervalle de temps 𝑡 est égal au courant 𝐼 multiplié par cet intervalle 𝑡.
Nous pouvons alors utiliser cette équation pour remplacer 𝑄 par 𝐼 multiplié par 𝑡 à droite de cette équation ici. Si nous faisons cela, nous avons que 𝑁, le nombre d’électrons passant à travers la section à un intervalle de temps 𝑡, est égal à 𝐼 multiplié par 𝑡 divisé par la charge des électrons 𝑒. Si nous divisons ensuite les deux côtés de l’équation par 𝑡 de sorte que les 𝑡 de droite s’annulent, nous avons 𝑁 sur 𝑡 est égal à 𝐼 sur 𝑒. Nous pouvons remarquer que sur le côté gauche, 𝑁 sur 𝑡 est juste le nombre d’électrons passant à travers la section avec une aire 𝐴 par seconde.
Rappelons-nous que la raison pour laquelle ces électrons traversent cette section transversale est qu’ils se déplacent vers la droite avec une vitesse moyenne que nous avons appelée 𝑣. Le nombre d’électrons libres par seconde qui passent par la section du fil doit être égal au nombre de ces électrons libres qu’il y a par unité de longueur du fil multiplié par la vitesse moyenne avec laquelle ces électrons libres se déplacent dans la direction qu’ils prennent dans cette section transversale. Dans notre cas, nous savons que cette vitesse moyenne est la valeur de 0,18 millimètres par seconde, que nous avons appelée 𝑣.
On peut également remarquer que le nombre d’électrons libres par unité de longueur du fil doit être égal au nombre d’électrons libres par unité de volume multiplié par la section du fil 𝐴. Ensuite, le nombre d’électrons libres par unité de volume est juste égal à la densité d’électrons libres dans le matériau, qui est ce qu’on nous demande de trouver dans cette question.
Appelons 𝑛 minuscule cette densité d’électrons libres, c’est-à-dire le nombre d’électrons libres par unité de volume. Alors, ces électrons par volume ici sont juste égaux à ce 𝑛 minuscule, la densité d’électrons libres. Cela signifie alors que le nombre d’électrons libres par unité de longueur est égal à 𝑛, la densité d’électrons libres, multipliée par 𝐴, l’aire de la section transversale. Nous avons alors que le nombre d’électrons libres par seconde passant par la section 𝐴 est égal à 𝑛 multiplié par 𝐴 multiplié par 𝑣, la vitesse moyenne.
Ensuite, rappelons que ce terme sur la gauche, le nombre d’électrons passant par la section transversale par seconde, est égal à cette quantité 𝑁 majuscule divisé par 𝑡. Nous avons alors que 𝑁 majuscule divisé par 𝑡 est égal à 𝑛 minuscule, la densité d’électrons libres, multipliée par 𝐴, la section du fil, multipliée par 𝑣, la vitesse moyenne des électrons libres. Nous pouvons alors utiliser cette équation afin de remplacer 𝑁 majuscule sur 𝑡 par 𝑛 minuscule fois 𝐴 fois 𝑣 du côté gauche de cette équation ici. Lorsque nous faisons cela, nous constatons que 𝑛 fois 𝐴 fois 𝑣 minuscule est égal au courant 𝐼 divisé par la charge des électrons 𝑒.
Notez qu’en utilisant cette équation ici pour remplacer 𝑁 majuscule divisé par 𝑡 dans cette équation, nous avons réussi à obtenir une équation dans laquelle nous connaissons les valeurs de toutes les quantités sauf une. Du côté droit de l’équation, nous connaissons le courant 𝐼 dans le fil et nous connaissons la valeur de la charge des électrons 𝑒. Ensuite, à gauche, nous connaissons la section transversale du fil 𝐴 et nous connaissons la vitesse moyenne 𝑣 des électrons libres.
La seule quantité inconnue est ce 𝑛 minuscule, la densité d’électrons libres. Et c’est ce que nous essayons de trouver. Cela signifie que nous voulons faire de 𝑛 le sujet de l’équation. Et pour cela, nous divisons les deux côtés par 𝐴 et 𝑣. Sur le côté gauche, nous voyons alors que les 𝐴 et les 𝑣 au numérateur et au dénominateur s’annulent. Cela nous donne une équation qui dit que la densité d’électrons libres 𝑛 est égale au courant 𝐼 divisé par la charge des électrons 𝑒, l’aire de la section transversale 𝐴 du fil et la vitesse moyenne 𝑣 des électrons libres. Cette équation que nous avons dérivée ici sera la clé pour répondre à cette question, car elle nous dit comment déterminer la chose que nous voulons trouver en fonction de quatre quantités dont nous connaissons les valeurs.
Laissons maintenant un peu d’espace au tableau pour pouvoir utiliser cette équation.
Avant d’utiliser nos valeurs dans la partie droite de cette équation, nous voulons vérifier que toutes les quantités ont des unités cohérentes. Sur le côté gauche, ce 𝑛 minuscule est la densité des électrons libres. C’est-à-dire le nombre d’électrons libres par unité de volume. L’unité SI pour 𝑛 sera donc des unités par mètre cube, que nous pouvons écrire sous forme de mètres à la puissance moins trois. Pour calculer une valeur de 𝑛 dans cette unité SI de mètres à la puissance moins trois, nous aurons besoin que toutes les quantités sur le côté droit soient exprimées dans leurs propres unités SI respectives.
Notre valeur pour la charge des électrons 𝑒 est exprimée en coulombs, qui est en effet l’unité SI de la charge électrique. La surface de la section transversale 𝐴 est donnée en mètres carrés, qui est l’unité SI de l’aire. Cependant, la vitesse 𝑣 est exprimée en millimètres par seconde, et le courant 𝐼 est exprimé en milliampères. Cela signifie que nous devons convertir ces valeurs respectivement en mètres par seconde et en ampères. Pour ce faire, nous pouvons remarquer que dans les deux cas, nous avons ce préfixe unitaire m minuscule ou milli-, ce qui signifie un facteur un sur 1000. Cela signifie que pour convertir des millimètres par seconde en mètres par seconde, nous devons diviser par un facteur de 1 000. Et de même, pour convertir des milliampères en ampères, nous devrons à nouveau diviser par 1 000.
Nous avons alors la vitesse 𝑣 est égale à 0,18 divisé par 1 000 mètres par seconde, et le courant 𝐼 est égal à 77 divisé par 1 000 ampères. La vitesse est de 0,00018 mètres par seconde, tandis que le courant est de 0,077 ampères.
Nous sommes maintenant prêts à utiliser nos valeurs dans cette équation pour le courant 𝐼, la charge des électrons 𝑒, l’aire de la section transversale 𝐴 et la vitesse 𝑣. Lorsque nous faisons cela, cela nous donne cette expression ici pour la densité d’électrons libres 𝑛. C’est le courant de 0,077 ampère divisé par la charge des électrons de 1,6 fois 10 à la puissance moins 19 coulombs, la section du fil de 1,5 fois 10 à la puissance moins six mètres carrés et la vitesse moyenne des électrons libres de 0,00018 mètres par seconde.
Puisque toutes ces quantités à droite sont dans leurs propres unités SI et que nous savons que la valeur de 𝑛 que nous allons calculer aura des unités de mètres à la puissance moins trois, cela signifie que sur le côté droit, nous pouvons remplacer toutes les unités individuelles avec ces unités globales résultantes de mètres à la puissance moins trois. Ensuite, si nous calculons cette expression en la tapant dans notre calculatrice, nous obtenons un résultat de 1,7824 et cetera fois 10 à la puissance 27 mètres à la puissance moins trois.
On nous dit dans la question de donner notre réponse en notation scientifique arrondie à une décimale près. Cette valeur que nous avons calculée est déjà exprimée en notation scientifique, il suffit donc de l’arrondir à une décimale. À une décimale près, le résultat est arrondi à 1,8 fois 10 fois 27 mètres à la puissance moins trois. Notre réponse est alors que la densité des électrons libres dans le matériau est égale à 1,8 fois 10 puissance 27 mètres à la puissance moins trois, ou 1,8 fois 10 puissance 27 par mètre cube.
