Transcription de la vidéo
Un courant de 1,4 ampères dans un fil de cuivre est porté par des électrons libres. La section du fil est de 2,5 fois 10 à la puissance moins six mètres carrés. Trouver la vitesse moyenne à laquelle les électrons libres traversent le fil. Utilisez une valeur de 1,6 fois 10 à la puissance moins 19 coulombs pour la charge d’électron et une valeur de 8,46 fois 10 à la puissance 28 par mètre cube pour la densité des électrons libres dans le cuivre. Donnez la réponse en notation scientifique arrondie à une décimale près.
Disons que ceci est une section de notre fil de cuivre et qu’ici nous avons la section transversale de ce fil dont l’aire nous est donnée. Dans notre fil de cuivre, il y a des électrons libres. En fait, il existe un nombre presque incroyable d’électrons libres. Et ces électrons qui se déplacent, disons vers la droite, traversent cette zone et créent un courant dans le fil. Dans cet exemple, nous voulons déterminer la vitesse moyenne à laquelle ces électrons libres passent le long du fil. En considérant cette vitesse moyenne, nous pouvons remarquer que si la vitesse moyenne de ces électrons est très petite, alors le courant dans le fil sera également petit. Il en est ainsi parce que le courant dans un fil 𝐼 est égal à la quantité de charge 𝑄 qui passe à travers une section transversale de ce fil dans un certain intervalle de temps 𝑡.
Ainsi, si la vitesse des électrons libres dans le fil est relativement petite, alors la quantité de charge 𝑄 qui passe à travers une section transversale du fil pendant un certain temps sera également petite. Et par conséquent, le courant 𝐼 sera également petit. En revanche, plus la vitesse moyenne de ces électrons libres est rapide, plus il y aura du courant dans le fil.
Le fait qu’on nous dit combien est l’intensité du courant dans le fil, 1,4 ampères, définit en quelque sorte la vitesse moyenne de ces électrons libres. Un ampère de courant est égal à un coulomb de charge passant à travers la section transversale d’un fil en une seconde. Le fait alors que nous avons un courant de 1,4 ampères dans notre fil de cuivre signifie que nous avons 1,4 coulombs de charge passant à travers la section transversale chaque seconde. Un fait important à rappeler ici est que chaque électron libre de notre fil contribue à une certaine quantité de charge. Chacun de ces électrons, on nous dit, contribue 1,6 fois 10 à la puissance moins 19 coulombs de charge.
Cela signifie que si nous voulons connaître le nombre d’électrons libres qui traversent la section transversale de notre fil chaque seconde, et disons que nous appelons ce nombre d’électrons libres 𝑁 majuscule, alors 𝑁 est égal à 1,4 coulombs, la quantité totale de charge passant par la section transversale en une seconde, divisée par la charge d’un seul électron libre, 1,6 fois 10 à la puissance moins 19 coulombs. Notons que dans cette fraction, les unités de coulombs se simplifient et notre résultat est sans unité.
Pour en revenir à notre schéma du fil de cuivre, disons, juste pour argumenter, que ce volume du fil est égal à un mètre cube. Cela signifierait que le fil est très épais. Mais pensons simplement de cette façon pour le moment. Dans ce mètre cube de fil, il y a 8,46 fois 10 puissance 28 électrons libres. C’est plus d’un milliard de milliards de milliards d’électrons libres. Et nous savons que tous ces électrons libres sont répartis sur notre volume. Disons que nous voulons déterminer combien d’électrons libres il y a dans une longueur d’un mètre de notre fil. En d’autres termes, si cela par exemple correspond à un mètre de notre fil, combien d’électrons libres y a-t-il dans cette partie de fil? Nous pouvons comprendre cela en prenant notre densité d’électrons libres, qui est le nombre d’électrons libres qui occupent un mètre cube de notre fil, et en le multipliant par l’aire de la section transversale du fil.
Remarquons ce qui arrive aux unités lorsque nous faisons cela. Deux facteurs de mètre s’annulent du dénominateur et du numérateur. Et nous nous retrouvons avec un certain nombre d’électrons libres qui sont dans une longueur d’un mètre du fil. À ce stade, libérons de l’espace à l’écran pour pouvoir développer notre schéma. Disons que ceci est une version étendue de notre fil de cuivre avec un mètre marqué sur sa longueur. Dans ce mètre, il y a autant d’électrons libres. Pour créer le courant donné, 1,4 coulombs de charge passant à travers notre section transversale en une seconde de temps, le nombre d’électrons libres dont nous aurons besoin pour traverser notre section est ce nombre.
Le nombre 𝑁 détermine la vitesse à laquelle tous ces électrons libres se déplacent en moyenne, de sorte que le bon nombre passe à travers notre section transversale chaque seconde. Ce que nous allons faire, c’est prendre 𝑁 électrons par seconde, et diviser par le nombre d’électrons présents dans un mètre de fil. Notons que pour cette valeur, nous avons des unités mètres à la puissance moins un. Dans notre appellation précédente, nous avions spécifié des électrons par mètre, mais nous pouvons noter que les électrons ne sont pas une unité en soi et que nous avons inclus ce symbole juste pour clarifier la particule que nous considérions dans notre fil. Les unités réelles de ce produit sont alors simplement des mètres à la puissance moins un, comme nous l’avons écrit ici.
La raison pour laquelle nous avons pris ce nombre d’électrons par seconde et l’avons divisé par ce nombre d’électrons par mètre de fil est que si nous multiplions le numérateur et le dénominateur par des unités de mètres simplifiant cette unité au dénominateur, nous obtenons un résultat avec des unités de mètres par seconde. Ceci est prometteur car rappelons que nous voulons obtenir une vitesse de nos électrons.
Notre affirmation est donc que si nous prenons 𝑁 électrons, où 𝑁 est égal à 1,4 divisé par 1,6 fois 10 à la puissance moins 19, et que nous divisons cela par le nombre d’électrons dans un mètre de notre fil, alors cela nous donnera la vitesse moyenne en unités de mètres par seconde des électrons libres dans le fil. En calculant cette valeur arrondie à une décimale près en notation scientifique, nous obtenons un résultat de 4,1 fois 10 à la puissance moins cinq mètres par seconde. C’est la vitesse moyenne que les électrons libres dans le fil doivent avoir pour créer un courant de 1,4 ampères. Notons également à quel point cette vitesse moyenne est petite; c’est moins d’un millimètre par seconde.
